Fonction holomorphe sur un
Ouvert \(\Omega\) de \({\Bbb C}\)
Fonction dérivable au sens complexe en tout \(z_0\in\Omega\) et telle que la fonction \(f^\prime:z_0\mapsto\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\) est
continue.
- on note \(\mathcal O(\Omega)\) l'ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\)
- les fonctions holomorphes ont des propriétés élémentaires similaires à celles des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) sur un intervalle de \({\Bbb R}\)
- \(\mathcal O(\Omega)\) forme une Algèbre
- \((\lambda f)^\prime=\) \(\lambda f^\prime\)
- \((f+g)^\prime=\) \(f^\prime+g^\prime\)
- \((fg)^\prime=\) \(f^\prime g+fg^\prime\)
- si \(f\) ne s'annule pas sur \(\Omega\), alors \(\frac1f\) est holomorphe et \((\frac1f)^\prime=\) \(\frac{-f^\prime}{f^2}\)
- \((f\circ g)^\prime=\) \(g^\prime\times f^\prime\circ g\)
- si \((f_n)_n\) est une suite de fonctions holomorphes sur \(\mathcal O(\Omega)\) qui convergence uniformément sur tout Compact de \(\Omega\), alors sa limite est holomorphe, et \(\forall p\in{\Bbb N}\), \((f_n^{(p)})_n\) converge uniformément sur tout compact vers \(f^{(p)}\)
